№ 3. Решить уравнение. \(\sqrt{4-x} + x = 5\)

Решение:

1. Выделим корень: Перенесем x в правую часть уравнения: \(\sqrt{4-x} = 5 - x\)
2. Возведем обе части в квадрат: \((\sqrt{4-x})^2 = (5 - x)^2\) \(4 - x = 25 - 10x + x^2\)
3. Приведем к квадратному уравнению: \(x^2 - 10x + x + 25 - 4 = 0\) \(x^2 - 9x + 21 = 0\)
4. Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 21 = 81 - 84 = -3\)
5. Анализ дискриминанта: Поскольку дискриминант отрицательный (D < 0), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
6. Проверка ОДЗ: Также необходимо учесть, что под корнем должно быть неотрицательное число: \(4 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4\). Кроме того, правая часть \(5 - x\) должна быть неотрицательной (так как она равна корню): \(5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5\). Объединяя условия, получаем \(x \le 4\).
7. Вывод: Так как действительных корней нет, уравнение решений не имеет.

Ответ: Нет решений