№4. Доказать тождество: \(\frac{\cos 6\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 6\alpha - \sin 6\alpha} = \tan(6\alpha + \frac{\pi}{4})\)

Решение:

1. Рассмотрим левую часть тождества: \(\frac{\cos 6\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 6\alpha - \sin 6\alpha}\)
2. Разделим числитель и знаменатель на \(\cos 6\alpha\) (при условии \(\cos 6\alpha
   e 0\)): \(\frac{\frac{\cos 6\alpha}{\cos 6\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha}}{\frac{\cos 6\alpha}{\cos 6\alpha} - \frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha}} = \frac{1 + \tan 6\alpha}{1 - \tan 6\alpha}\)
3. Используем формулу тангенса суммы: \(\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)
4. Представим 1 как \(\tan \frac{\pi}{4}\): \(\frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan 6\alpha}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan 6\alpha}\)
5. Применим формулу тангенса суммы: \(\tan(\frac{\pi}{4} + 6\alpha)\)
6. Таким образом, левая часть равна правой части.
7. Условие \(\cos 6\alpha
   e 0\) означает, что \(6\alpha
   e \frac{\pi}{2} + \pi k\), где k - целое число.
8. Условие \(\cos 6\alpha - \sin 6\alpha
   e 0\) означает \(\tan 6\alpha
   e 1\), что \(6\alpha
   e \frac{\pi}{4} + \pi n\), где n - целое число.
9. Условие \(\tan(6\alpha + \frac{\pi}{4})\) означает, что \(6\alpha + \frac{\pi}{4}
   e \frac{\pi}{2} + \pi m\), что также \(6\alpha
   e \frac{\pi}{4} + \pi m\).

Ответ: Тождество доказано