3. Решите неравенство: \( \frac{x^4 (5-x)}{x^2-49} \leq 0 \)

Краткое пояснение:

Для решения рационального неравенства используем метод интервалов, учитывая знаки числителя и знаменателя.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим корни числителя: \( x^4 = 0 \Rightarrow x = 0 \) (кратность 4, поэтому знак не меняется); \( 5-x = 0 \Rightarrow x = 5 \).
2. Шаг 2: Находим корни знаменателя: \( x^2 - 49 = 0 \Rightarrow (x-7)(x+7) = 0 \Rightarrow x = 7 \) и \( x = -7 \). Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x
   eq 7 \) и \( x
   eq -7 \).
3. Шаг 3: Определяем интервалы на числовой оси: \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 0] \), \( [0; 5] \), \( [5; 7) \), \( (7; +\infty) \). Обратите внимание, что \( x=0 \) и \( x=5 \) включаются в решение, а \( x=-7 \) и \( x=7 \) — нет.
4. Шаг 4: Проверяем знаки выражения \( \frac{x^4 (5-x)}{x^2-49} \) на каждом интервале.
• Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \( \frac{(-8)^4 (5-(-8))}{(-8)^2-49} = \frac{+ \cdot +}{+ - +} = \frac{+}{+} = + \)
• Для \( -7 < x \leq 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{(-1)^4 (5-(-1))}{(-1)^2-49} = \frac{+ \cdot +}{+ - +} = \frac{+}{-} = - \)
• Для \( 0 \leq x \leq 5 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{1^4 (5-1)}{1^2-49} = \frac{+ \cdot +}{+ - +} = \frac{+}{-} = - \)
• Для \( 5 \leq x < 7 \) (например, \( x = 6 \)): \( \frac{6^4 (5-6)}{6^2-49} = \frac{+ \cdot -}{+ - +} = \frac{-}{-} = + \)
• Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( \frac{8^4 (5-8)}{8^2-49} = \frac{+ \cdot -}{+ - +} = \frac{-}{+} = - \)
5. Шаг 5: Выбираем интервалы, где выражение \( \leq 0 \). Это \( (-7; 0] \) и \( [0; 5] \) и \( (7; +\infty) \).
6. Шаг 6: Объединяем интервалы. Учитывая, что \( x=0 \) имеет четную кратность, знак на нем не меняется. Объединение \( (-7; 0] \) и \( [0; 5] \) дает \( (-7; 5] \).
7. Шаг 7: Итоговое решение: \( (-7; 5] \cup (7; +\infty) \).

Ответ: \( (-7; 5] \cup (7; +\infty) \)