3. Решите систему уравнений: б) \(\begin{cases} \frac{2a}{3} + \frac{5b}{12} = \frac{7}{6} \\ \frac{2a}{5} - \frac{4}{5} = \frac{3b}{10} \end{cases}\)

Решение:

Для начала избавимся от дробей в каждом уравнении.

Первое уравнение: Умножим обе части на наименьший общий знаменатель (30):

\[ 30 \cdot \frac{2a}{3} + 30 \cdot \frac{5b}{12} = 30 \cdot \frac{7}{6} \]

\[ 20a + \frac{150b}{12} = \frac{210}{6} \]

\[ 20a + \frac{25b}{2} = 35 \]

Умножим еще раз на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 40a + 25b = 70 \]

Разделим на 5:

\[ 8a + 5b = 14 \]

Второе уравнение: Умножим обе части на наименьший общий знаменатель (10):

\[ 10 \cdot \frac{2a}{5} - 10 \cdot \frac{4}{5} = 10 \cdot \frac{3b}{10} \]

\[ 4a - 8 = 3b \]

Перенесём \( 3b \) влево, а -8 вправо:

\[ 4a - 3b = 8 \]

Теперь у нас получилась система:

\[\begin{cases} 8a + 5b = 14 \\ 4a - 3b = 8 \end{cases}\]

Умножим второе уравнение на 2, чтобы можно было вычесть уравнения:

\[\begin{cases} 8a + 5b = 14 \\ 8a - 6b = 16 \end{cases}\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (8a + 5b) - (8a - 6b) = 14 - 16 \]

\[ 11b = -2 \]

\[ b = -\frac{2}{11} \]

Подставим \( b = -\frac{2}{11} \) во второе уравнение \( 4a - 3b = 8 \):

\[ 4a - 3(-\frac{2}{11}) = 8 \]

\[ 4a + \frac{6}{11} = 8 \]

\[ 4a = 8 - \frac{6}{11} = \frac{88 - 6}{11} = \frac{82}{11} \]

\[ a = \frac{82}{11 \cdot 4} = \frac{41}{22} \]

Ответ: \( a = \frac{41}{22}, b = -\frac{2}{11} \).