4. Решите систему уравнений: 3) \(\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{2y} = 5 \end{cases}\)

Решение:

Введём замену переменных: пусть \( u = \frac{1}{x} \) и \( v = \frac{1}{y} \). Тогда система примет вид:

\[\begin{cases} u - v = 1 \\ 2u - \frac{1}{2}v = 5 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим \( u \): \( u = 1 + v \).

Подставим во второе уравнение:

\[ 2(1 + v) - \frac{1}{2}v = 5 \]

\[ 2 + 2v - \frac{1}{2}v = 5 \]

\[ 2 + \frac{3}{2}v = 5 \]

\[ \frac{3}{2}v = 5 - 2 \]

\[ \frac{3}{2}v = 3 \]

\[ v = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \]

Теперь найдём \( u \):

\[ u = 1 + v = 1 + 2 = 3 \]

Вернёмся к исходным переменным:

\[ u = \frac{1}{x} = 3 \implies x = \frac{1}{3} \]

\[ v = \frac{1}{y} = 2 \implies y = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{2} \).