3) Решите уравнение: a) $$x^3 = 125$$; б) $$x^4 = 64$$; в) $$x^5 = -\frac{1}{243}$$; г) $$x^4 = -16$$.

Решение:

1. a) $$x^3 = 125$$
   Чтобы найти \( x \), нужно извлечь кубический корень из 125.
   \( x = \sqrt[3]{125} \)
   Так как \( 5^3 = 125 \), то \( x = 5 \).
2. б) $$x^4 = 64$$
   Чтобы найти \( x \), нужно извлечь корень 4-й степени из 64. Так как степень чётная, будут два корня: положительный и отрицательный.
   \( x = \pm \sqrt[4]{64} \)
   \( \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} \).
   Следовательно, \( x = \pm 2\sqrt{2} \).
3. в) $$x^5 = -\frac{1}{243}$$
   Чтобы найти \( x \), нужно извлечь корень 5-й степени из -\(\frac{1}{243}\).
   \( x = \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} \)
   Так как \( (-\frac{1}{3})^5 = -\frac{1}{243} \), то \( x = -\frac{1}{3} \).
4. г) $$x^4 = -16$$
   Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в действительных числах.
   Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: а) $$x = 5$$; б) $$x = \pm 2\sqrt{2}$$; в) $$x = -\frac{1}{3}$$; г) нет действительных решений.