3. Решите уравнения: а) 2x⁴ + 3x² + 1 = 0; б) x² − 2x + √(2 − x) = √(2 − x) + 3; в) x³ + 6x² − 4x − 24 = 0; г) 4/(x − 2) + 4/x = 3.

а) Сделаем замену \(t=x^2\), где \(t\ge0\):

\(2t^2+3t+1=0\), значит \((2t+1)(t+1)=0\).

Получаются \(t=-\frac12\) или \(t=-1\), но ни одно значение не удовлетворяет условию \(t\ge0\). Действительных корней нет.

б) Область определения: \(2-x\ge0\), то есть \(x\le2\). Вычтем одинаковые радикалы из обеих частей:

\(x^2-2x=3\), или \(x^2-2x-3=0\).

\((x-3)(x+1)=0\), откуда \(x=3\) или \(x=-1\). Условию \(x\le2\) удовлетворяет только \(x=-1\).

в) Сгруппируем слагаемые:

\(x^3+6x^2-4x-24=x^2(x+6)-4(x+6)=(x+6)(x^2-4)\).

\((x+6)(x-2)(x+2)=0\), поэтому \(x=-6, -2, 2\).

г) Область допустимых значений: \(x\ne0\), \(x\ne2\). Умножим обе части на \(x(x-2)\):

\(4x+4(x-2)=3x(x-2)\).

\(8x-8=3x^2-6x\), следовательно, \(3x^2-14x+8=0\).

\(D=(-14)^2-4\cdot3\cdot8=100\), поэтому \(x=\frac{14\pm10}{6}\). Получаем \(x=4\) или \(x=\frac23\); оба значения допустимы.

Ответ: а) действительных корней нет; б) \(-1\); в) \(-6, -2, 2\); г) \(4, \frac23\).