3. Решите уравнения: а) $2x^4+3x^2+1=0$; б) $x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3$; в) $x^3+6x^2-4x-24=0$; г) $\frac{4}{x-2}+\frac{4}{x}=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите уравнения: а) $2x^4+3x^2+1=0$; б) $x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3$; в) $x^3+6x^2-4x-24=0$; г)…$ Фото задания

3. Решите уравнения: а) $2x^4+3x^2+1=0$; б) $x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3$; в) $x^3+6x^2-4x-24=0$; г) $\frac{4}{x-2}+\frac{4}{x}=3$.

Accepted Answer

а) Положим $t=x^2$, где $t\ge0$. Тогда $2t^2+3t+1=0$, то есть $(2t+1)(t+1)=0$. Получаем $t=-\frac12$ или $t=-1$, но оба значения противоречат условию $t\ge0$.

Ответ: действительных корней нет.

б) Область определения: $x\le2$. Вычтем одинаковые выражения $\sqrt{2-x}$ из обеих частей:

$x^2-2x=3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0$.

Кандидаты: $x=3$ и $x=-1$. Значение $3$ не входит в область определения, а $-1$ допустимо.

Ответ: $x=-1$.

в) Сгруппируем слагаемые:

$x^3+6x^2-4x-24=x^2(x+6)-4(x+6)=(x+6)(x^2-4)=(x+6)(x-2)(x+2)$.

Приравнивая множители к нулю, получаем $x=-6$, $x=2$ или $x=-2$.

Ответ: $-6, -2, 2$.

г) Ограничения: $x\ne0$, $x\ne2$. Умножим уравнение на $x(x-2)$:

$4x+4(x-2)=3x(x-2)$.

$8x-8=3x^2-6x\Rightarrow 3x^2-14x+8=0$.

$D=(-14)^2-4\cdot3\cdot8=100$, поэтому $x=\frac{14\pm10}{6}$, то есть $x=4$ или $x=\frac23$. Оба значения удовлетворяют ограничениям.

Ответ: $x=\frac23$ или $x=4$.

3. Решите уравнения: а) \(2x^4+3x^2+1=0\); б) \(x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3\); в) \(x^3+6x^2-4x-24=0\); г) \(\frac{4}{x-2}+\frac{4}{x}=3\).

Ответ: