№3. Решите уравнения: а) \(36\cdot216^{3x+1}=1\); б) \(3^{2x+1}-8\cdot3^x=3\); в) \(3\cdot25^x-8\cdot15^x+5\cdot9^x=0\).

а) Представим числа как степени числа 6: \(36=6^2\), \(216=6^3\).

\(6^2\cdot(6^3)^{3x+1}=1\), значит \(6^{2+9x+3}=6^0\). Поэтому \(9x+5=0\), откуда \(x=-\dfrac{5}{9}\).

б) Пусть \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(3t^2-8t=3\), то есть \(3t^2-8t-3=0\).

Корни квадратного уравнения: \(t=3\) и \(t=-\dfrac{1}{3}\). С учётом условия \(t>0\) подходит только \(t=3\). Значит, \(3^x=3\), откуда \(x=1\).

в) Введём \(u=5^x\) и \(v=3^x\). Тогда уравнение принимает вид \(3u^2-8uv+5v^2=0\).

Разложим на множители: \((3u-5v)(u-v)=0\). Следовательно, либо \(3\cdot5^x=5\cdot3^x\), либо \(5^x=3^x\).

В первом случае \((5/3)^x=5/3\), поэтому \(x=1\). Во втором \((5/3)^x=1\), поэтому \(x=0\).

Ответ: а) \(x=-\dfrac{5}{9}\); б) \(x=1\); в) \(x=0\) или \(x=1\).