№ 3. Решите уравнения в целых числах: а) (x − y)(x + y) = 17; б) xy + 3x − y = 8.

а) Используем разность квадратов: (x − y)(x + y) = x² − y² = 17. Число 17 простое, поэтому пары целых множителей — (1, 17), (17, 1), (−1, −17), (−17, −1).

Из x − y = 1, x + y = 17 получаем x = 9, y = 8. Из x − y = 17, x + y = 1 получаем x = 9, y = −8. Отрицательные пары дают соответственно (x, y) = (−9, −8) и (−9, 8).

б) Преобразуем уравнение: xy + 3x − y = 8, то есть x(y + 3) = y + 8. Вычтем из обеих частей 3(x − 1): (x − 1)(y + 3) = 5.

Пары целых множителей числа 5: (1, 5), (5, 1), (−1, −5), (−5, −1). Из них получаем решения: (x, y) = (2, 2), (6, −2), (0, −8), (−4, −4).

Ответ: а) (9; 8), (9; −8), (−9; 8), (−9; −8); б) (2; 2), (6; −2), (0; −8), (−4; −4).