3. Решите задачу. В произвольном квадрате выбирается точка. Сделайте рисунок и найдите вероятности событий. а) Точка принадлежит треугольнику, образованному диагональю квадрата и двумя смежными сторонами квадрата. б) Точка принадлежит треугольнику, образованному двумя соседними вершинами квадрата и точкой пересечения его диагоналей.

Вероятность попадания точки в фигуру равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата. Обозначим сторону квадрата через \(a\).

а) Диагональ делит квадрат на два равных треугольника. Площадь одного из них составляет половину площади квадрата: \(P=\frac{a^2/2}{a^2}=0.5\).

б) Треугольник с основанием, равным стороне квадрата, имеет вершину в точке пересечения диагоналей. Его высота равна \(a/2\). Поэтому его площадь равна \(\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}\), а вероятность — \(\frac{a^2/4}{a^2}=0.25\).

Ответ: а) 0.5; б) 0.25.