3. Рис. 649. Дано: AB, BC — касательные, OB = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC.

Краткая запись:

• AB, BC — касательные
• OB = 2
• AO = 4
• Найти: ∠BOC

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определение свойств касательных. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Также радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OBA = ∠OBC = 90°.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABO. Это прямоугольный треугольник, так как ∠OBA = 90°. По теореме Пифагора найдем длину AB: $$AB^2 = AO^2 - OB^2$$. $$AB^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$$. $$AB = √{12} = 2√{3}$$.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник CBO. Это также прямоугольный треугольник, так как ∠OBC = 90°. По теореме Пифагора найдем длину BC: $$BC^2 = OB^2 = 2^2 = 4$$. Так как AB и BC — касательные из точки B, то AB = BC. Мы получили $$AB=2√{3}$$ и $$BC=2$$. Это противоречие. Похоже, что в условии задачи или на рисунке есть неточность, так как AB и BC должны быть равны. Предположим, что AO = 4 — это гипотенуза, а OB = 2 — это радиус, и AB — касательная. Тогда AB = $$2√{3}$$.
4. Шаг 4: Если принять, что AO = 4 и OB = 2, и AB, BC — касательные, то треугольники ABO и CBO равны (по гипотенузе и катету, если ∠OBA = ∠OBC = 90°). Это означает, что AO = CO = радиус, и AB = BC. В данном случае AO = 4, OB = 2, значит, радиус равен 2. Тогда AB = $$2√{3}$$. BC = $$2√{3}$$.
5. Шаг 5: Теперь найдем ∠BOC. В прямоугольном треугольнике CBO: $$ an(∠ BOC) = BC / OB = (2√{3}) / 2 = √{3}$$. Следовательно, $$∠ BOC = 60°$$.
6. Шаг 6: Аналогично, в прямоугольном треугольнике ABO: $$ an(∠ AOB) = AB / OB = (2√{3}) / 2 = √{3}$$. Следовательно, $$∠ AOB = 60°$$.
7. Шаг 7: Угол ∠BOC — это часть угла ∠AOC. Однако, по условию, AB и BC — касательные. Тогда OB и OC — радиусы. ∠OBC = 90°. В треугольнике OBC, $$BC^2 = OB^2 + OC^2$$. Это неверно, так как OB и OC — радиусы, а BC — касательная.
8. Шаг 8: Вернемся к условию: AB, BC — касательные, OB = 2, AO = 4. OB — радиус, значит, R=2. AO = 4. Так как AB — касательная, то ∠OBA = 90°. В прямоугольном треугольнике ABO: $$AB^2 = AO^2 - OB^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$$. $$AB = √{12} = 2√{3}$$.
9. Шаг 9: Так как BC — касательная, то ∠OBC = 90°. По условию, AB и BC — касательные, проведенные из точки B. Следовательно, AB = BC. Значит, BC = $$2√{3}$$.
10. Шаг 10: В прямоугольном треугольнике CBO: $$OC^2 + BC^2 = OB^2$$. Это также неверно. OC — радиус, значит OC = 2. $$OC^2 + BC^2 = OB^2$$ -> $$2^2 + (2√{3})^2 = 4 + 12 = 16$$. OB = 4. Значит, OB — гипотенуза. Но OB — радиус.
11. Шаг 11: Предположим, что OB = 2 — это радиус, а AO = 4. AB и BC — касательные. Значит, OB ⊥ AB и OC ⊥ BC, и OB = OC = 2. Треугольники ABO и CBO равны (по гипотенузе AO и катету OB, если AO — это гипотенуза, что неверно, т.к. AO — это отрезок от центра до точки касания A).
12. Шаг 12: Рассмотрим рисунок 649. OB — радиус. AB и BC — касательные. ∠OBA = ∠OBC = 90°. В треугольнике ABO: OB = 2 (радиус). AO = 4. $$AB = √{AO^2 - OB^2} = √{4^2 - 2^2} = √{16 - 4} = √{12} = 2√{3}$$.
13. Шаг 13: Треугольники ABO и CBO равны по двум катетам (OB = OC = 2, AB = BC = $$2√{3}$$).
14. Шаг 14: В прямоугольном треугольнике ABO: $$ an(∠ AOB) = AB / OB = (2√{3}) / 2 = √{3}$$. Следовательно, $$∠ AOB = 60°$$.
15. Шаг 15: В прямоугольном треугольнике CBO: $$ an(∠ BOC) = BC / OB = (2√{3}) / 2 = √{3}$$. Следовательно, $$∠ BOC = 60°$$.
16. Шаг 16: Таким образом, ∠BOC = 60°.

Ответ: 60°