5. Рис. 651. Дано: M, N, K — точка касания. Найти: РАВС.

Краткая запись:

• M, N, K — точки касания
• Найти: Периметр треугольника ABC (P_ABC)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию, M, N, K — точки касания окружности со сторонами треугольника ABC. Это означает, что стороны треугольника являются касательными к вписанной в него окружности.
2. Шаг 2: Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, следует, что отрезки касательных от вершины до точки касания равны.
3. Шаг 3: Обозначим точки касания: K на стороне AB, N на стороне BC, M на стороне AC.
4. Шаг 4: Из вершины A: AK = AM.
5. Шаг 5: Из вершины B: BK = BN.
6. Шаг 6: Из вершины C: CN = CM.
7. Шаг 7: Периметр треугольника ABC (P_ABC) равен сумме длин его сторон: P_ABC = AB + BC + AC.
8. Шаг 8: Подставим выражения для сторон через отрезки касательных:
9. AB = AK + KB
10. BC = BN + NC
11. AC = AM + MC
12. Шаг 9: P_ABC = (AK + KB) + (BN + NC) + (AM + MC).
13. Шаг 10: Используя равенства касательных: AK = AM, BK = BN, CN = CM, можем переписать периметр:
14. P_ABC = (AM + BN) + (BN + CM) + (AM + CM).
15. Шаг 11: Сгруппируем одинаковые отрезки:
16. P_ABC = 2 * AM + 2 * BN + 2 * CM.
17. Шаг 12: Вынесем общий множитель 2:
18. P_ABC = 2 * (AM + BN + CM).
19. Шаг 13: Обратим внимание на рисунок. На нем указаны длины некоторых отрезков: BK = 4, BN = 4 (совпадает). CN = 8, CM = 8 (совпадает). AM = 3, AK = 3 (совпадает).
20. Шаг 14: Теперь подставим эти значения в формулу для периметра:
21. AM = 3
22. BN = 4
23. CM = 8
24. Шаг 15: P_ABC = 2 * (3 + 4 + 8).
25. Шаг 16: P_ABC = 2 * (15).
26. Шаг 17: P_ABC = 30.

Ответ: 30