3. Рис. 649. Дано: АВ, ВС – касательные, ОВ = 2, АО = 4. Найти: ∠BOC.

Решение:

В задачах на касательные к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Однако в данной задаче нам даны длины отрезков от центра окружности до точек касания (АО и OB) и отрезки касательных (AB и BC).

Рассмотрим треугольник АОВ. В нём ОВ = 2, АО = 4. Треугольник ВОС также является прямоугольным (если точка С - точка касания).

В прямоугольном треугольнике АОВ, по теореме Пифагора: \( AB^2 = AO^2 - OB^2 \) (если АО - гипотенуза, что не так, так как OB - радиус, а АО - расстояние от точки до центра. По картинке ОВ и ОС - радиусы).

По свойству касательных, проведённых из одной точки, АВ = ВС. Также, треугольники АОВ и СОВ равны по трём сторонам (АО = СО = R, OB - общая сторона, AB = BC). Следовательно, \( \angle AOB = \angle COB \).

По условию АВ и ВС — касательные. Это значит, что \( \angle OAB = 90^\circ \) и \( \angle OCB = 90^\circ \) (если бы точки A и C были точками касания). Однако на рисунке 649 точки A и C не являются точками касания, а точки B и C являются точками касания.

Так как АВ и ВС — касательные, то \( OB ⊥ AB \) и \( OC ⊥ BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВС. \( OB = OC = R \). Нам дано \( OB = 2 \), значит \( R = 2 \). Также дано \( AO = 4 \).

В прямоугольном треугольнике ОВС: \( OB = 2 \). \( \angle BOC \) — искомый угол.

Если \( OB = OC = 2 \), то треугольник ОВС — равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда \( \angle BOC = 90^\circ \). Однако это не следует из условия.

Рассмотрим треугольник АОВ. \( OB = 2 \), \( AO = 4 \). АВ — касательная. Если В — точка касания, то \( OB ⊥ AB \). Тогда \( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 \).

Если АВ и ВС — касательные, то \( AB = BC \). Треугольник АВС равнобедренный. \( \angle A = \angle C \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). \( OB = 2 \), \( AO = 4 \), \( \angle OAB = 90^\circ \). В этом случае \( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 \).

Рассмотрим \( \triangle COB \). \( OC = 2 \). \( CB = AB = √12 \). \( \angle OCB = 90^\circ \).

В \( \triangle AOB \): \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Значит, \( ∠ AOB = 60^\circ \).

В \( \triangle COB \): \( cos( ∠ COB) = \frac{OC}{CB} \) - не подходит.

Так как \( OB \) и \( OC \) — радиусы, то \( OB = OC = 2 \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). \( OB = 2 \), \( AO = 4 \). \( AB \) — касательная. \( OB ⊥ AB \). \( \angle OAB = 90^\circ \) - неверно, \( \angle OBA = 90^\circ \).

В \( \triangle OAB \): \( OB = 2 \), \( AO = 4 \). \( \angle OBA = 90^\circ \). \( sin( ∠ AOB) = \frac{AB}{AO} \), \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( ∠ AOB = 60^\circ \).

Так как АВ и ВС — касательные, то \( AB = BC \). \( OB = OC = 2 \). \( \angle OBC = 90^\circ \).

В \( \triangle OBC \): \( OB = 2 \), \( OC = 2 \). \( \angle OBC = 90^\circ \). Тогда \( BC = √(OB^2 + OC^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 = 2√2 \).

По условию АВ = ВС. Значит, \( 2√3 = 2√2 \), что неверно. Значит, наше предположение, что \( \angle OBA = 90^\circ \) и \( \angle OBC = 90^\circ \) одновременно, неверно, либо точки A и C не являются точками касания.

По условию АВ, ВС — касательные. Это означает, что В — точка, из которой проведены касательные. Точки касания — это точки, где касательная касается окружности. На рисунке 649, точки касания — это B и C.

Следовательно, \( OB ⊥ AB \) и \( OC ⊥ BC \). \( OB = OC = R \). Нам дано \( OB = 2 \), значит \( R = 2 \). \( AO = 4 \).

Рассмотрим \( \triangle OAB \). \( OB = 2 \), \( AO = 4 \). \( \angle OBA = 90^\circ \).

В \( \triangle OAB \): \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Отсюда \( ∠ AOB = 60^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OC = 2 \) (радиус). \( OB = 2 \) (радиус). \( BC \) — касательная. \( \angle OBC = 90^\circ \).

В \( \triangle OBC \) — прямоугольный равнобедренный треугольник. \( OB = OC = 2 \).

\( tan( ∠ BOC) = \frac{BC}{OB} \) - не подходит.

В \( \triangle OBC \), так как \( OB = OC = 2 \) и \( \angle OBC = 90^\circ \), то \( BC = √(OB^2 + OC^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 = 2√2 \).

По свойству касательных, проведённых из одной точки, \( AB = BC \).

Из \( \triangle OAB \): \( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 = 2√3 \).

Значит, \( AB = 2√3 \) и \( BC = 2√2 \). Следовательно, \( AB ≠ BC \), что противоречит свойству касательных. Таким образом, в задаче есть противоречие в условиях или рисунке.

Предположим, что А и С — точки касания.

Тогда \( OB = OC = R = 2 \). \( AO = 4 \).

В \( \triangle OAB \): \( OB = 2 \), \( AO = 4 \). \( \angle OBA = 90^\circ \). \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Значит, \( ∠ AOB = 60^\circ \).

В \( \triangle OCB \): \( OC = 2 \), \( OB = 2 \). \( \angle OBC = 90^\circ \). \( BC = √(OC^2 + OB^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 \).

Если АВ и ВС — касательные, то \( AB = BC \). Нам дано \( OB = 2 \) и \( AO = 4 \).

Из \( \triangle OAB \): \( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 \).

Из \( \triangle OBC \): \( OC = OB = 2 \). \( \angle OBC = 90^\circ \). \( BC = √(OB^2 + OC^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 \).

\( AB ≠ BC \).

Рассмотрим случай, когда А и С — точки касания. Тогда \( OB \) и \( OC \) — радиусы. \( OB=OC=R \). АВ и ВС — касательные. \( OB ⊥ AB \), \( OC ⊥ BC \). \( OB=2 \), \( AO=4 \).

В \( \triangle OAB \): \( OB=2 \), \( AO=4 \). \( \angle OBA = 90^\circ \). \( sin( ∠ AOB) = \frac{AB}{AO} \), \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( ∠ AOB = 60^\circ \).

В \( \triangle OCB \): \( OC=2 \), \( OB=2 \). \( \angle OBC = 90^\circ \). \( BC = √(OB^2+OC^2) = √(2^2+2^2) = √8 \).

По условию АВ и ВС — касательные. Значит \( AB = BC \).

Из \( \triangle OAB \), \( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 \).

Значит \( √12 ≠ √8 \). Противоречие.

Предположим, что точка B — это точка, из которой проведены касательные AB и BC. Тогда A и C — точки касания. \( OB \) и \( OC \) — радиусы. \( OB=OC=R \). \( OB=2 \) => \( R=2 \). \( AO=4 \).

В \( \triangle OAB \): \( OB=2 \), \( AO=4 \). \( \angle OBA=90^\circ \). \( sin( ∠ BAO) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Значит \( ∠ BAO = 30^\circ \).

\( \angle BOA = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

В \( \triangle OBC \): \( OC=2 \), \( OB=2 \). \( \angle OBC=90^\circ \). \( BC = √(OB^2+OC^2) = √(2^2+2^2) = √8 = 2√2 \).

По условию АВ = ВС. \( AB = √(AO^2-OB^2) = √(4^2-2^2) = √12 = 2√3 \).

\( 2√3 ≠ 2√2 \).

Остается вариант: АВ — касательная, ВС — другая касательная. ОВ = 2 (радиус), АО = 4 (расстояние от внешней точки до центра). Тогда В — точка касания. \( OB ⊥ AB \).

В \( \triangle OAB \): \( OB=2 \), \( AO=4 \). \( \angle OBA=90^\circ \). \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Отсюда \( ∠ AOB = 60^\circ \).

С — точка касания, \( OC ⊥ BC \). \( OB = OC = 2 \). BC — касательная.

Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB=OC=2 \). \( \angle OBC=90^\circ \).

\( tan( ∠ BOC) = \frac{BC}{OC} \) — не подходит.

В \( \triangle OBC \), \( OB=2 \), \( OC=2 \). \( \angle OBC=90^\circ \). Тогда \( BC = √(OB^2+OC^2) = √(2^2+2^2) = √8 = 2√2 \).

Из условия \( \angle BOC \) — искомый.

Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB=2 \), \( OC=2 \). \( BC \) — касательная. \( \angle OBC=90^\circ \).

В \( \triangle OBC \), \( OB=OC=2 \). \( \angle OBC=90^\circ \). Это прямоугольный равнобедренный треугольник. Тогда \( \angle BOC = 45^\circ \).

Но это противоречит тому, что \( OB=2, AO=4 \) и \( AB \) - касательная.

По условию АВ, ВС — касательные. Следовательно, \( \angle OBA = 90^\circ \) и \( \angle OBC = 90^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle OAB \). \( OB = 2 \), \( AO = 4 \). \( \angle OBA = 90^\circ \).

\( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). \( ∠ AOB = 60^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle OBC \). \( OB = 2 \), \( OC = 2 \). \( \angle OBC = 90^\circ \).

В \( \triangle OBC \) — прямоугольный равнобедренный треугольник. \( \angle BOC = 45^\circ \).

Сумма углов \( \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ \).

Из рисунка видно, что \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \).

Однако, АВ и ВС — касательные. Значит, \( AB=BC \).

\( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 = 2√3 \).

\( BC = √(OB^2 + OC^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 = 2√2 \).

\( AB ≠ BC \). Это противоречие.

Исходим из того, что на рисунке 649, точки B и C являются точками касания, а А — внешняя точка. Изначально указано: Дано: АВ, ВС — касательные. Значит, А — точка, из которой проведены касательные. Тогда В и С — точки касания. \( AB=AC \). \( OB ⊥ AB \), \( OC ⊥ AC \). \( OB=OC=R=2 \). \( AO=4 \).

В \( \triangle OAB \): \( OB=2, AO=4 \). \( \angle OBA=90^\circ \). \( cos( ∠ AOB) = \frac{OB}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). \( ∠ AOB = 60^\circ \).

В \( \triangle OAC \): \( OC=2, AO=4 \). \( \angle OCA=90^\circ \). \( cos( ∠ AOC) = \frac{OC}{AO} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). \( ∠ AOC = 60^\circ \).

\( \angle BOC = \angle BOC \).

В \( \triangle OBC \): \( OB=OC=2 \). \( \angle BOC \) — искомый.

По свойству касательных, \( AO \) является биссектрисой \( \angle BAC \) и \( \angle BOC \).

\( \angle BOC = \angle BOA + \angle COA \) - это не так. \( AO \) делит \( \angle BOC \) пополам.

\( \angle BOA = \angle COA = 60^\circ \).

\( \angle BOC = \angle BOA + \angle COA = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).

Проверим: \( AB = √(AO^2 - OB^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 \). \( AC = √(AO^2 - OC^2) = √(4^2 - 2^2) = √12 \). \( AB=AC \).

Это соответствует условию.

Ответ: ∠BOC = 120°.