3. С какой скоростью проходит груз пружинного маятника, имеющего массу 0,1 кг, положение равновесия, если жёсткость пружины 10 Н/м, а амплитуда колебаний 5 см?

Решение:

1. Дано:
   • Масса груза \( m = 0.1 \) кг
   • Жёсткость пружины \( k = 10 \) Н/м
   • Амплитуда колебаний \( A = 5 \) см = 0.05 м
2. Найти: Скорость в положении равновесия \( v \)
3. Решение:

   В положении равновесия вся энергия колебаний является кинетической. Полная энергия колебаний равна максимальной потенциальной энергии в крайних точках, которая равна \( E = \frac{1}{2} k A^2 \). В положении равновесия эта энергия равна максимальной кинетической энергии \( E = \frac{1}{2} m v_{max}^2 \). Приравнивая эти выражения, получаем:

   \[ \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k A^2 \] \[ v_{max}^2 = \frac{k A^2}{m} \] \[ v_{max} = \sqrt{\frac{k A^2}{m}} = A \sqrt{\frac{k}{m}} \]
4. Вычисления:
\[ v_{max} = 0.05 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{10 \text{ Н/м}}{0.1 \text{ кг}}} = 0.05 \text{ м} \cdot \sqrt{100 \text{ с}^{-2}} = 0.05 \text{ м} \cdot 10 \text{ с}^{-1} = 0.5 \text{ м/с} \]

Ответ: 0.5 м/с.