3. Случайная величина задана распределением: a) ... б) ... Найти математическое ожидание случайной величины, ее дисперсию и стандартное отклонение.

Краткое пояснение:

Для распределения а)

1. Математическое ожидание E(X):

E(X) = Σ(xᵢ * P(xᵢ))

E(X) = (-4 * 0.3) + (-1 * 0.1) + (1 * 0.2) + (4 * 0.3) + (5 * 0.1)

E(X) = -1.2 - 0.1 + 0.2 + 1.2 + 0.5

E(X) = 0.6

2. Дисперсия D(X):

D(X) = E(X²) - (E(X))²

Сначала найдем E(X²):

E(X²) = Σ(xᵢ² * P(xᵢ))

E(X²) = ((-4)² * 0.3) + ((-1)² * 0.1) + (1² * 0.2) + (4² * 0.3) + (5² * 0.1)

E(X²) = (16 * 0.3) + (1 * 0.1) + (1 * 0.2) + (16 * 0.3) + (25 * 0.1)

E(X²) = 4.8 + 0.1 + 0.2 + 4.8 + 2.5

E(X²) = 12.4

Теперь вычислим дисперсию:

D(X) = 12.4 - (0.6)²

D(X) = 12.4 - 0.36

D(X) = 12.04

3. Стандартное отклонение σ(X):

σ(X) = √D(X)

σ(X) = √12.04 ≈ 3.47

Для распределения б)

1. Математическое ожидание E(X):

E(X) = Σ(xᵢ * P(xᵢ))

E(X) = (-4 * 1/3) + (-2 * 1/6) + (2 * 1/4) + (4 * 1/4)

E(X) = -4/3 - 2/6 + 2/4 + 4/4

E(X) = -4/3 - 1/3 + 1/2 + 1

E(X) = -5/3 + 3/2

E(X) = (-10 + 9) / 6

E(X) = -1/6

2. Дисперсия D(X):

D(X) = E(X²) - (E(X))²

Сначала найдем E(X²):

E(X²) = Σ(xᵢ² * P(xᵢ))

E(X²) = ((-4)² * 1/3) + ((-2)² * 1/6) + (2² * 1/4) + (4² * 1/4)

E(X²) = (16 * 1/3) + (4 * 1/6) + (4 * 1/4) + (16 * 1/4)

E(X²) = 16/3 + 4/6 + 4/4 + 16/4

E(X²) = 16/3 + 2/3 + 1 + 4

E(X²) = 18/3 + 5

E(X²) = 6 + 5

E(X²) = 11

Теперь вычислим дисперсию:

D(X) = 11 - (-1/6)²

D(X) = 11 - 1/36

D(X) = (396 - 1) / 36

D(X) = 395/36 ≈ 10.97

3. Стандартное отклонение σ(X):

σ(X) = √D(X)

σ(X) = √(395/36) = (√395) / 6 ≈ 19.87 / 6 ≈ 3.31

Ответ:

Для распределения а):

• Математическое ожидание: 0.6
• Дисперсия: 12.04
• Стандартное отклонение: ≈ 3.47

Для распределения б):

• Математическое ожидание: -1/6
• Дисперсия: 395/36
• Стандартное отклонение: √(395)/6