3. Составьте уравнение окружности с центром в точке O(2; −4), которая пересекает ось абсцисс. Сколько таких окружностей можно построить?

Расстояние от центра O(2; −4) до оси абсцисс равно 4, поскольку ордината центра равна −4.

Чтобы окружность пересекала ось абсцисс в двух точках, её радиус должен быть больше этого расстояния: \(R>4\).

Уравнение окружности с центром \(O(a;b)\) имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\). Поэтому:

\((x-2)^2+(y+4)^2=R^2,\quad R>4\).

Например, при \(R=5\) получаем окружность \((x-2)^2+(y+4)^2=25\).

Так как радиус можно выбрать любым числом, большим 4, таких окружностей бесконечно много.

Ответ: \((x-2)^2+(y+4)^2=R^2\), где \(R>4"); окружностей можно построить бесконечно много.