Ответ:

1. Нам удалось быстро договориться насчёт квартиры. Насчёт — производный предлог в значении «о, относительно», пишется слитно.

2. В школе объявили карантин вследствие эпидемии гриппа. Вследствие — производный предлог со значением причины («из-за»), пишется слитно и оканчивается на е.

3. Чтобы знать, надо учиться. Чтобы — подчинительный союз, пишется слитно; придаточная часть цели стоит перед главной и отделяется запятой.

4. Отчего это, няня, тут темно, а там светло? Отчего (= почему) — вопросительное местоименное наречие, пишется слитно. Обращение няня выделено запятыми.

5. И в душе за ночью зимней тоже свет и тоже тишь. Тоже — союз со значением «также», пишется слитно.