3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 10 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности.

Решение:

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания: Основание — квадрат со стороной \( a = 10 \) см.

\[ S_{осн} = a^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2 \]

2. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_{бок} \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_{бок} \) — апофема (высота боковой грани).

   Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 \text{ см} = 40 \text{ см} \).

   Для нахождения апофемы \( h_{бок} \) используем двугранный угол при основании, равный \( 60^{\circ} \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания. В этом треугольнике двугранный угол при основании является углом между апофемой и половиной стороны основания.

   Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см. Пусть \( h_{бок} \) — апофема.

   В прямоугольном треугольнике: \( \cos(60^{\circ}) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a/2}{h_{бок}} \).

   \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{5}{h_{бок}} \]

   \[ \frac{1}{2} = \frac{5}{h_{бок}} \]

   \[ h_{бок} = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см} \]

   Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 200 \text{ см}^2 \]

3. Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 \text{ см}^2 + 200 \text{ см}^2 = 300 \text{ см}^2 \]

Ответ: 300 см².