№ 3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, боковое ребро - 13 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей пирамиды.

Решение:

1. Находим площадь основания (квадрата):

\( S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \) см²

2. Находим апофему (высоту боковой грани):

Апофема \( h_a \) — это катет прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро \( l = 13 \) см, а второй катет — половина стороны основания \( \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

\( h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.

3. Находим площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

\( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240 \) см².

4. Находим площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности — это сумма площади основания и площади боковой поверхности.

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 240 = 340 \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 240 см², площадь полной поверхности равна 340 см².