№ 4. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 24√7 см, высота - 9 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей пирамиды.

Решение:

1. Находим сторону основания (квадрата):

Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \). Следовательно, сторона квадрата \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \).

\( a = \frac{24\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{14}}{2} = 12\sqrt{14} \) см.

2. Находим площадь основания:

\( S_{осн} = a^2 = (12\sqrt{14})^2 = 144 \cdot 14 = 2016 \) см².

3. Находим апофему (высоту боковой грани):

Апофема \( h_a \) — это катет прямоугольного треугольника, где один катет — высота пирамиды \( H = 9 \) см, а второй катет — половина стороны основания \( \frac{a}{2} = \frac{12\sqrt{14}}{2} = 6\sqrt{14} \) см.

\( h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{9^2 + (6\sqrt{14})^2} = \sqrt{81 + 36 \cdot 14} = \sqrt{81 + 504} = \sqrt{585} \) см.

\( \sqrt{585} = \sqrt{9 \cdot 65} = 3\sqrt{65} \) см.

4. Находим площадь боковой поверхности:

Периметр основания \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 12\sqrt{14} = 48\sqrt{14} \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{65} = 24\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{65} = 72\sqrt{14 \cdot 65} = 72\sqrt{910} \) см².

5. Находим площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 2016 + 72\sqrt{910} \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \( 72\sqrt{910} \) см², площадь полной поверхности равна \( 2016 + 72\sqrt{910} \) см².