3. Сумма двух чисел равна -10, а сумма их квадратов равна 58. Найдите эти числа.

Задание 3. Система уравнений

Обозначим два искомых числа как $$x$$ и $$y$$. По условию задачи у нас есть два уравнения:

1. Сумма чисел равна -10: $$ x + y = -10 $$
2. Сумма их квадратов равна 58: $$ x^2 + y^2 = 58 $$

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим $$y$$ через $$x$$:

$$ y = -10 - x $$

Теперь подставим это выражение для $$y$$ во второе уравнение:

$$ x^2 + (-10 - x)^2 = 58 $$

Раскроем скобки:

$$ x^2 + (100 + 20x + x^2) = 58 $$

$$ x^2 + 100 + 20x + x^2 = 58 $$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$$ 2x^2 + 20x + 100 - 58 = 0 $$

$$ 2x^2 + 20x + 42 = 0 $$

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:

$$ x^2 + 10x + 21 = 0 $$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$:

$$ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 $$

$$ D = 100 - 84 $$

$$ D = 16 $$

Найдем корни $$x$$:

$$ x_1 = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

$$ x_2 = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 4}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$

Теперь найдем соответствующие значения $$y$$ для каждого $$x$$:

Если $$x = -3$$, то $$ y = -10 - (-3) = -10 + 3 = -7 $$

Если $$x = -7$$, то $$ y = -10 - (-7) = -10 + 7 = -3 $$

Итак, пара чисел (-3, -7) удовлетворяет обоим условиям.

Проверим:

• Сумма: $$-3 + (-7) = -10$$ (верно)
• Сумма квадратов: $$(-3)^2 + (-7)^2 = 9 + 49 = 58$$ (верно)

Ответ: -3 и -7