3. Сумма двух чисел равна – 7, а сумма их квадратов равна 25. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть первое число будет x, а второе — y.

По условию задачи мы можем составить систему уравнений:

1. \[ x + y = -7 \]
2. \[ x^2 + y^2 = 25 \]

Из первого уравнения выразим y:

• \[ y = -7 - x \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

• \[ x^2 + (-7 - x)^2 = 25 \]
• \[ x^2 + (49 + 14x + x^2) = 25 \]
• \[ 2x^2 + 14x + 49 - 25 = 0 \]
• \[ 2x^2 + 14x + 24 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 2:

• \[ x^2 + 7x + 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1 \]

Найдем корни:

• \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
• \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь найдем соответствующие значения y:

• Если x = -3, то y = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4.
• Если x = -4, то y = -7 - (-4) = -7 + 4 = -3.

В обоих случаях получаем одну и ту же пару чисел.

Ответ: -3 и -4