3. Сверните выражение и найдите его числовое значение: a) 1 – 2 sin² 22,5° b) 2 cos² 75° – 1

Решение:

Используем формулы двойного угла для косинуса:

• \( \cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha \)
• \( \cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1 \)

а) Свертывание \( 1 - 2 \sin^2 22,5° \):

Это выражение совпадает с одной из формул для \( \cos(2\alpha) \), где \( \alpha = 22,5° \).

\( 1 - 2 \sin^2 22,5° = \cos(2 \cdot 22,5°) = \cos 45° \)

Числовое значение \( \cos 45° \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

б) Свертывание \( 2 \cos^2 75° - 1 \):

Это выражение совпадает с одной из формул для \( \cos(2\alpha) \), где \( \alpha = 75° \).

\( 2 \cos^2 75° - 1 = \cos(2 \cdot 75°) = \cos 150° \)

Угол 150° находится во второй четверти. Значение \( \cos 150° = \cos(180° - 30°) = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: а) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \); б) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).