3) Теплоход, двигаясь по Ладожскому озеру, прошёл на восток 30 км, затем свернул под углом 45 градусов на северо-восток и прошел еще 20 км, последние 20 км он двигался строго на север. Найдите путь, пройденный теплоходом, и модуль перемещения. Начертите в удобном масштабе траекторию движения.

Путь — сумма длин трех участков: \(s=30+20+20=70\) км.

На втором участке длиной 20 км проекции на восток и север равны \(20\cos45^\circ=10\sqrt2\) км. Поэтому проекция перемещения на восток равна \(30+10\sqrt2\) км, а на север — \(20+10\sqrt2\) км.

По теореме Пифагора модуль перемещения:

\[R=\sqrt{(30+10\sqrt2)^2+(20+10\sqrt2)^2}=\sqrt{2100+1000\sqrt2}\approx63.8\text{ км}.\]

Схема условная и выполнена не в масштабе; пунктиром соединены начальная и конечная точки.

Ответ: путь — 70 км, модуль перемещения — \(\sqrt{2100+1000\sqrt2}\approx63.8\) км.