3. Тип 3 № 94 i Найдите значение выражения (8ab / (a + 8b)) * (a/8b - 8b/a) при a = 8√3 + 7, b = √3 - 3.

Решение:

Упростим выражение:

1. \( \frac{8ab}{a + 8b} \cdot \left( \frac{a}{8b} - \frac{8b}{a} \right) = \frac{8ab}{a + 8b} \cdot \left( \frac{a^2 - (8b)^2}{8ab} \right) \)
2. Сократим \( 8ab \) в числителе и знаменателе:
3. \( \frac{a^2 - (8b)^2}{a + 8b} \)
4. Разложим числитель по формуле разности квадратов: \( a^2 - (8b)^2 = (a - 8b)(a + 8b) \).
5. \( \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a + 8b} \)
6. Сократим \( a + 8b \) в числителе и знаменателе:
7. \( a - 8b \)

Теперь подставим значения \( a = 8\sqrt{3} + 7 \) и \( b = \sqrt{3} - 3 \):

1. \( a - 8b = (8\sqrt{3} + 7) - 8(\sqrt{3} - 3) \)
2. \( = 8\sqrt{3} + 7 - 8\sqrt{3} + 24 \)
3. \( = (8\sqrt{3} - 8\sqrt{3}) + (7 + 24) \)
4. \( = 0 + 31 \)
5. \( = 31 \)

Ответ: 31