3) Точка В не лежит в плоскости ΔАДС. Точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС, ВД соответственно. а) Доказать, что плоскости (МNР) и (АДС) параллельны; б) Найти площадь треугольника МNР, если SΔАДС = 48 см².

а) В треугольнике ВАС точки М и N — середины ВА и ВС, поэтому МN ∥ АС. В треугольнике ВАД точки М и Р — середины ВА и ВД, поэтому МР ∥ АД. Прямые МN и МР пересекаются в точке М и лежат в плоскости (МNР); прямые АС и АД пересекаются в точке А и лежат в плоскости (АДС). Поскольку две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, плоскости (МNР) и (АДС) параллельны.

Также в треугольнике ВДС средняя линия NP параллельна ДС. Следовательно, треугольники МNР и АДС подобны с коэффициентом подобия 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(S_{\triangle МNР}=48\cdot(1/2)^2=12\text{ см}^2.\)

Ответ: а) плоскости (МNР) и (АДС) параллельны; б) \(S_{\triangle МNР}=12\text{ см}^2.\)