3) Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. \( △ ABC \) и \( △ ADC \) — равносторонние. Докажите, что \( AB ‖ CD \).

Доказательство:

По условию \( △ ABC \) и \( △ ADC \) — равносторонние треугольники. Это означает, что все их стороны и углы равны.

1. Из того, что \( △ ABC \) — равносторонний, следует:
• \( AB = BC = AC \)
• \( △ ABC = △ BCA = △ CAB = 60° \)
2. Из того, что \( △ ADC \) — равносторонний, следует:
• \( AD = DC = AC \)
• \( △ ADC = △ DCA = △ CAD = 60° \)
3. Сравнивая стороны двух треугольников, видим, что \( AB = AC \) и \( AD = AC \). Следовательно, \( AB = AD \).
4. Также \( BC = AC \) и \( DC = AC \). Следовательно, \( BC = DC \).
5. Из равенства сторон \( AB = AC \) и \( DC = AC \) следует, что \( AB = DC \).
6. Рассмотрим углы: \( △ BAC = 60° \) и \( △ ACD = 60° \).
7. Угол \( △ BAD = △ BAC + △ CAD = 60° + 60° = 120° \).
8. Угол \( △ BCD = △ BCA + △ ACD = 60° + 60° = 120° \).
9. Рассмотрим четырёхугольник \( ABCD \). Его стороны \( AB \) и \( CD \) равны \( AC \), то есть \( AB = CD \).
10. Углы \( △ ABC = 60° \) и \( △ ADC = 60° \) не являются односторонними углами при секущих AB и CD к прямым AC и BD.
11. Однако, в четырёхугольнике \( ABCD \) мы имеем \( AB = BC = CD = DA = AC \). Это означает, что четырёхугольник \( ABCD \) состоит из двух равносторонних треугольников, склеенных по стороне \( AC \).
12. Если мы рассмотрим стороны \( AB \) и \( CD \), они являются сторонами равносторонних треугольников \( △ ABC \) и \( △ ADC \) соответственно.
13. Из равенства \( AB = AC \) и \( DC = AC \) следует, что \( AB = DC \).
14. Теперь нужно доказать, что \( AB ‖ CD \).
15. Углы \( △ BAC \) и \( △ ACD \) — внутренние накрест лежащие углы при секущей AC для прямых AB и CD.
16. \( △ BAC = 60° \) и \( △ ACD = 60° \).
17. Так как \( △ BAC = △ ACD \) как внутренние накрест лежащие углы, то прямые \( AB \) и \( CD \) параллельны.

Доказано: AB || CD.