3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Докажите, что AB || CD.

Решение:

1. Рассмотрим два равнобедренных прямоугольных треугольника: ΔABC и ΔADC.
2. По условию, ∠B = 90° и ∠D = 90°.
3. Так как треугольники равнобедренные и прямоугольные, то углы при основании (AC) равны.
4. В ΔABC: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.
5. В ΔADC: ∠DAC = ∠DCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.
6. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC.
7. Рассмотрим углы, образуемые сторонами AB и CD с прямой AC.
8. Угол ∠BAC = 45°.
9. Угол ∠DCA = 45°.
10. Углы ∠BAC и ∠DCA являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC.
11. Поскольку накрест лежащие углы равны (∠BAC = ∠DCA = 45°), то прямые AB и CD параллельны.

Доказано.