3. Точки В и Длежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC – равнобедренные прямоугольные (∠B = = ∠D = 90°). Докажите, что АB || CD.

Решение:

Дано, что треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные, причем ∠B = 90° и ∠D = 90°.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны по 45°.

Рассмотрим треугольник АВС:

\( ∠B = 90° \)

Так как треугольник равнобедренный, то AB = BC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\( ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180° \)

\( ∠BAC + ∠BCA + 90° = 180° \)

\( ∠BAC + ∠BCA = 90° \)

Поскольку треугольник равнобедренный с прямым углом при вершине B, то углы при основании AC равны:

\( ∠BAC = ∠BCA = \frac{90°}{2} = 45° \)

Аналогично, рассмотрим треугольник ADC:

\( ∠D = 90° \)

Так как треугольник равнобедренный, то AD = DC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\( ∠DAC + ∠DCA + ∠D = 180° \)

\( ∠DAC + ∠DCA + 90° = 180° \)

\( ∠DAC + ∠DCA = 90° \)

Поскольку треугольник равнобедренный с прямым углом при вершине D, то углы при основании AC равны:

\( ∠DAC = ∠DCA = \frac{90°}{2} = 45° \)

Теперь рассмотрим углы, образованные отрезками AB и CD с прямой AC:

Угол между AB и AC — это ∠BAC = 45°.

Угол между CD и AC — это ∠DCA = 45°.

Углы ∠BAC и ∠DCA являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC.

Поскольку накрест лежащие углы равны (∠BAC = ∠DCA = 45°), то прямые AB и CD параллельны.

Доказано.