3. Третья задача: Задача о двух автоматах с чаем на вокзале. Известны вероятности окончания чая в каждом автомате и в обоих автоматах. Нужно найти вероятность того, что чай останется в обоих автоматах к концу дня.

Решение:

Пусть событие A — чай закончился в первом автомате, а событие B — чай закончился во втором автомате. Нам известны вероятности \( P(A) \), \( P(B) \) и \( P(A \cap B) \).

Нам нужно найти вероятность того, что чай останется в обоих автоматах. Это означает, что чай не закончится ни в первом, ни во втором автомате.

Пусть \( \bar{A} \) — событие, что чай не закончился в первом автомате, а \( \bar{B} \) — событие, что чай не закончился во втором автомате.

Вероятность того, что чай не закончился в первом автомате: \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) \).

Вероятность того, что чай не закончился во втором автомате: \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) \).

Для нахождения вероятности того, что чай останется в обоих автоматах, нужно знать, являются ли события окончания чая в автоматах независимыми. Если они независимы, то вероятность того, что чай останется в обоих автоматах, равна произведению вероятностей того, что он не закончится в каждом из них:

\( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) \)

Важно: Если события окончания чая в автоматах зависимы, то для нахождения \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) \) нужно использовать формулу, основанную на вероятности пересечения событий.

Ответ: Необходимо знать, являются ли события окончания чая в автоматах независимыми, и использовать соответствующие формулы вероятности.