3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, AM и CE — медианы треугольника. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный, где O — точка пересечения медиан треугольника.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC.
2. Обозначим через N середину основания AC. В равнобедренном треугольнике медиана BN, проведённая к основанию, является также высотой и серединным перпендикуляром к отрезку AC.
3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому точка O, являющаяся точкой пересечения медиан AM и CE, лежит и на медиане BN.
4. Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому OA = OC.

Ответ: треугольник AOC равнобедренный, его боковые стороны OA и OC равны.