№ 3. У Васи есть набор из 17 дощечек размерами: 1 × 1, 1 × 2, …, 1 × 17. Может ли Вася составить из них прямоугольник, у которого каждая сторона больше 1? Выберите ответ: может; не может.

Суммарная площадь дощечек равна \(1+2+\cdots+17=\frac{17\cdot18}{2}=153\).

Площадь составленного прямоугольника должна быть 153. Поскольку \(153=3^2\cdot17\), возможные целочисленные стороны, обе большие 1, — например, 3 и 51. Но дощечки имеют ширину 1 и длину не более 17: при укладке в прямоугольник их можно располагать только рядами шириной 1. Чтобы получить ширину больше 1, длины дощечек в рядах должны совпасть по сумме; однако площадь сама по себе такой раскладки не исключает. Проверим точнее: все дощечки имеют площади от 1 до 17, и их суммарная площадь 153 может быть разложена на прямоугольник 3 × 51, но длины полос должны разбиваться на три набора с суммой 51 каждый.

Такое разбиение возможно: \(17+16+15+3=51\), \(14+13+12+11+1=51\), \(10+9+8+7+6+5+4+2=51\). Следовательно, можно сложить три полосы длиной 51 и получить прямоугольник 3 × 51.

Ответ: может.