3. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 67° и 83°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 16.

Решение:

Пусть \(R\) - радиус описанной окружности, \(R = 16\).

По условию, \(\angle B = 67^{\circ}\) и \(\angle C = 83^{\circ}\).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 83^{\circ} = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}\).

По теореме синусов для треугольника ABC:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где \(a = BC \), \(b = AC \), \(c = AB \).

Нам нужно найти \(BC \) (сторона \(a\)).

\( \frac{BC}{\sin A} = 2R \).

\( BC = 2R \u0007 \sin A \).

Подставляем известные значения:

\( BC = 2 \u0007 16 \u0007 \sin 30^{\circ} \).

\( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

\( BC = 32 \u0007 \frac{1}{2} = 16 \).

Ответ: 16.