№ 3 Упростить выражение: а) \(\left(\frac{2x}{2x+y}-\frac{4x^2}{4x^2+4xy+y^2}\right):\left(\frac{2x}{4x^2-y^2}+\frac{1}{y-2x}\right)\); б) \(\left(\frac{m}{m-6}-\frac{2m}{m^2-12m+36}\right)\cdot\frac{36-m^2}{m-8}+\frac{12m}{m-6}\).

а)

\(4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2\), поэтому

\(\frac{2x}{2x+y}-\frac{4x^2}{(2x+y)^2}=\frac{2xy}{(2x+y)^2}\).

Также \(4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)\) и \(\frac{1}{y-2x}=-\frac{1}{2x-y}\), значит

\(\frac{2x}{4x^2-y^2}+\frac{1}{y-2x}=\frac{2x}{(2x-y)(2x+y)}-\frac{1}{2x-y}=-\frac{y}{(2x-y)(2x+y)}\).

Тогда

\(\frac{2xy}{(2x+y)^2}:\left(-\frac{y}{(2x-y)(2x+y)}\right)=\frac{2x(y-2x)}{2x+y}\).

б)

\(m^2-12m+36=(m-6)^2\), поэтому

\(\frac{m}{m-6}-\frac{2m}{(m-6)^2}=\frac{m(m-8)}{(m-6)^2}\).

Следовательно,

\(\frac{m(m-8)}{(m-6)^2}\cdot\frac{36-m^2}{m-8}+\frac{12m}{m-6}\)

\(=\frac{m}{(m-6)^2}\cdot[-(m-6)(m+6)]+\frac{12m}{m-6}\)

\(=-\frac{m(m+6)}{m-6}+\frac{12m}{m-6}=\frac{m(6-m)}{m-6}=-m\).

Ответ: а) \(\frac{2x(y-2x)}{2x+y}\); б) \(-m\).