3) Упростить выражения: 1) $\frac{a-3}{3a^2}-\frac{7-a}{a^3}$; 2) $\frac{36}{a^2+5a}-\frac{12}{a}$; 3) $\frac{b}{b+1}-\frac{b^2}{b^2-1}$; 4) $\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) Упростить выражения: 1) $\frac{a-3}{3a^2}-\frac{7-a}{a^3}$; 2) $\frac{36}{a^2+5a}-\frac{12}{a}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём дроби к общему знаменателю $3a^3$: $\frac{a-3}{3a^2}-\frac{7-a}{a^3}=\frac{a(a-3)-3(7-a)}{3a^3}=\frac{a^2-21}{3a^3}$. Ограничение: $a\ne0$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители и приведём дроби к общему знаменателю: $\frac{36}{a^2+5a}-\frac{12}{a}=\frac{36-12(a+5)}{a(a+5)}=\frac{-12a}{a(a+5)}=-\frac{12}{a+5}$. Ограничения исходного выражения: $a\ne0$, $a\ne-5$.
Используем разложение $b^2-1=(b-1)(b+1)$: $\frac{b}{b+1}-\frac{b^2}{b^2-1}=\frac{b(b-1)-b^2}{(b-1)(b+1)}=-\frac{b}{b^2-1}$. Ограничения: $b\ne-1$, $b\ne1$.
Разложим знаменатели и приведём дроби к общему знаменателю $4(a-4)(a+4)$:
$\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}=\frac{(a+12)(a-4)-(a+4)^2+76}{4(a-4)(a+4)}$.
Числитель равен $a^2+8a-48-(a^2+8a+16)+76=12$. Поэтому результат: $\frac{12}{4(a^2-16)}=\frac{3}{a^2-16}$. Ограничения исходного выражения: $a\ne4$, $a\ne-4$.

3) Упростить выражения: 1) \(\frac{a-3}{3a^2}-\frac{7-a}{a^3}\); 2) \(\frac{36}{a^2+5a}-\frac{12}{a}\); 3) \(\frac{b}{b+1}-\frac{b^2}{b^2-1}\); 4) \(\frac{a+12}{4a+16}-\frac{a+4}{4a-16}+\frac{19}{a^2-16}\).