3. Упростите выражение: 1) $\frac{x-4}{x+2}-\frac{x}{2-x}$; 2) $\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+16}{x-5}$; 3) $\frac{(2a-1)^2}{6a-6}+\frac{(a-2)^2}{6-6a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: 1) $\frac{x-4}{x+2}-\frac{x}{2-x}$; 2) $\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+16}{x-5}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $2-x=-(x-2)$, получаем $\frac{x-4}{x+2}-\frac{x}{2-x}=\frac{x-4}{x+2}+\frac{x}{x-2}$. Приведём к общему знаменателю: $\frac{(x-4)(x-2)+x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{2x^2-4x+8}{x^2-4}$, где $x\ne\pm2$.
Используем равенство $5-x=-(x-5)$: $\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+16}{x-5}=\frac{-(5x+6)+(3x+16)}{x-5}=\frac{10-2x}{x-5}$, где $x\ne5$.
Поскольку $6a-6=6(a-1)$, а $6-6a=-6(a-1)$, объединим дроби: $\frac{(2a-1)^2}{6(a-1)}-\frac{(a-2)^2}{6(a-1)}=\frac{(2a-1)^2-(a-2)^2}{6(a-1)}$. Разность квадратов: $(2a-1)^2-(a-2)^2=((2a-1)-(a-2))((2a-1)+(a-2))=(a+1)(3a-3)$. Следовательно, $\frac{(a+1)(3a-3)}{6(a-1)}=\frac{a+1}{2}$, где $a\ne1$.

3. Упростите выражение: 1) \(\frac{x-4}{x+2}-\frac{x}{2-x}\); 2) \(\frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+16}{x-5}\); 3) \(\frac{(2a-1)^2}{6a-6}+\frac{(a-2)^2}{6-6a}\).