3. Упростите выражение: 1) $\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}$; 2) $\frac{2b^2-b}{b^3+1}+\frac{b-1}{b^2-b+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: 1) $\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители и приведём дроби к общему знаменателю $2(y^2-1)$:
\[\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}=\frac{(y+3)(y-1)-(y+1)^2+6}{2(y^2-1)}.\]
Упростим числитель:
\[(y+3)(y-1)-(y+1)^2+6=y^2+2y-3-(y^2+2y+1)+6=2.\]
Следовательно, $\frac{2}{2(y^2-1)}=\frac{1}{y^2-1}$, где $y\ne1$, $y\ne-1$.
Разложим сумму кубов: $b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)$. Приведём дроби к общему знаменателю:
\[\frac{2b^2-b}{b^3+1}+\frac{b-1}{b^2-b+1}=\frac{2b^2-b+(b-1)(b+1)}{(b+1)(b^2-b+1)}.\]
Упростим числитель и запишем общий знаменатель в исходной форме:
\[\frac{2b^2-b+b^2-1}{b^3+1}=\frac{3b^2-b-1}{b^3+1}.\]
Для действительных значений выражение определено при $b\ne-1$.

3. Упростите выражение: 1) \(\frac{y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{3}{y^2-1}\); 2) \(\frac{2b^2-b}{b^3+1}+\frac{b-1}{b^2-b+1}\).