№ 3. Упростите выражение: а) ((a−3)/(a²−3a+9) − (6a²−18[неразборчивый знак или символ после 18])/(a³+27)) : (5a−15)/(4a³+108).

В числителе второй дроби после 18 возможны два прочтения: \(6a^2-18\) или \(6a^2-18a\). Решение зависит от этого фрагмента.

Если записано \(6a^2-18\):

Обозначим \(Q=a^2-3a+9\). Тогда \(a^3+27=(a+3)Q\), а \(4a^3+108=4(a+3)Q\).

\(\frac{a-3}{Q}-\frac{6a^2-18}{(a+3)Q}=\frac{(a-3)(a+3)-6(a^2-3)}{(a+3)Q}=\frac{9-5a^2}{(a+3)Q}\).

Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\(\frac{9-5a^2}{(a+3)Q}\cdot\frac{4(a+3)Q}{5(a-3)}=\frac{4(9-5a^2)}{5(a-3)}\).

Знаменатели исходного выражения требуют \(a\ne-3\), а делитель не должен быть равен нулю, поэтому также \(a\ne3\).

Если записано \(6a^2-18a\):

\(\frac{a-3}{Q}-\frac{6a^2-18a}{(a+3)Q}=\frac{(a-3)(a+3)-6a(a-3)}{(a+3)Q}=\frac{(a-3)(3-5a)}{(a+3)Q}\).

\(\frac{(a-3)(3-5a)}{(a+3)Q}\cdot\frac{4(a+3)Q}{5(a-3)}=\frac{4(3-5a)}{5}\), где \(a\ne-3\) и \(a\ne3\).

Чтобы выбрать единственный результат, нужен более чёткий фрагмент числителя второй дроби.