3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\left(\frac1a+\frac1b\right)$; б) $\frac{c-3}{4-c}\cdot\left(c-\frac{c}{c-3}\right)$; в) $\frac{y-2}{y^2+4}\cdot\left(\frac{y+2}{y-2}+\frac{y-2}{y+2}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\left(\frac1a+\frac1b\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём выражения в скобках к общим знаменателям: \[\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right):\left(\frac{a+b}{ab}\right)=\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot\frac{ab}{a+b}=a-b.\] Ограничения исходной записи: $a\ne0$, $b\ne0$, $a+b\ne0$. Следовательно, $a-b$.
б) Сначала упростим вторую скобку: \[c-\frac{c}{c-3}=\frac{c(c-3)-c}{c-3}=\frac{c(c-4)}{c-3}.\] Тогда \[\frac{c-3}{4-c}\cdot\frac{c(c-4)}{c-3}=-c,\] поскольку $4-c=-(c-4)$. Ограничения исходной записи: $c\ne3,4$. Следовательно, $-c$.
в) Приведём сумму в скобках к общему знаменателю: \[\frac{y+2}{y-2}+\frac{y-2}{y+2}=\frac{(y+2)^2+(y-2)^2}{y^2-4}=\frac{2(y^2+4)}{y^2-4}.\] Поэтому \[\frac{y-2}{y^2+4}\cdot\frac{2(y^2+4)}{(y-2)(y+2)}=\frac{2}{y+2}.\] Ограничения исходной записи: $y\ne\pm2$. Следовательно, $\frac{2}{y+2}$.

3. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\left(\frac1a+\frac1b\right)\); б) \(\frac{c-3}{4-c}\cdot\left(c-\frac{c}{c-3}\right)\); в) \(\frac{y-2}{y^2+4}\cdot\left(\frac{y+2}{y-2}+\frac{y-2}{y+2}\right)\).