3. Упростите выражение \(\frac{9x^2-1}{1+6x+9x^2}\) и найдите его числовое значение при \(x=\frac{5}{6}\).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[9x^2-1=(3x-1)(3x+1),\]

\[1+6x+9x^2=(3x+1)^2.\]

Тогда

\[\frac{9x^2-1}{1+6x+9x^2}=\frac{(3x-1)(3x+1)}{(3x+1)^2}=\frac{3x-1}{3x+1}.\]

Подставим \(x=\frac{5}{6}\):

\[\frac{3\cdot\frac{5}{6}-1}{3\cdot\frac{5}{6}+1}=\frac{\frac{5}{2}-1}{\frac{5}{2}+1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{3}{7}.\]

Ответ: упрощённое выражение \(\frac{3x-1}{3x+1}\); числовое значение \(\frac{3}{7}\).