3. Упростите выражения: а) $\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+2\right)\cdot\frac{ab}{a+b}$; б) $\left(\frac{x+2}{x^2+2x+4}-\frac{6x-13}{x^3-8}\right)\cdot\frac{2x^2+4x+8}{3-x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражения: а) $\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+2\right)\cdot\frac{ab}{a+b}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём выражение в скобках к одной дроби:

$\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+2\right)\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a+b}=a+b$.

б) Разложим сумму кубов и разность кубов: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$. Приведём разность к общему знаменателю:

$\frac{x+2}{x^2+2x+4}-\frac{6x-13}{x^3-8}=\frac{(x+2)(x-2)-(6x-13)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$.

Числитель равен $x^2-4-6x+13=x^2-6x+9=(x-3)^2$, поэтому

$\frac{(x-3)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}\cdot\frac{2(x^2+2x+4)}{3-x}=\frac{2(x-3)^2}{(x-2)(3-x)}=-\frac{2(x-3)}{x-2}=\frac{2(3-x)}{x-2}$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne2$, $x\ne3$; в пункте а) $a\ne0$, $b\ne0$, $a+b\ne0$.

Ответ: а) $a+b$; б) $\frac{2(3-x)}{x-2}$.

3. Упростите выражения: а) \(\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+2\right)\cdot\frac{ab}{a+b}\); б) \(\left(\frac{x+2}{x^2+2x+4}-\frac{6x-13}{x^3-8}\right)\cdot\frac{2x^2+4x+8}{3-x}\).