3) Усечённый конус имеет конусность 1:20. Найти малый диаметр d, если большой диаметр D = 80,0 мм, а высота конуса H = 196 мм.

Решение:

Конусность — это отношение высоты конуса к разности радиусов его оснований. В данном случае, дано отношение высоты к диаметру, что является частным случаем. Однако, в задаче речь идёт о конусности 1:20, что означает отношение высоты к разности диаметров (или удвоенной разности радиусов).

Формула конусности:

\[ \text{Конусность} = \frac{H}{D - d} \]

Где:

• \( H \) — высота конуса.
• \( D \) — большой диаметр основания.
• \( d \) — малый диаметр основания.

Из условия задачи имеем:

• \( H = 196 \) мм.
• \( D = 80,0 \) мм.
• Конусность = \( 1:20 \) (или \( \frac{1}{20} \)).

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{1}{20} = \frac{196}{80 - d} \]

Решим уравнение относительно \( d \):

• \( 1 \cdot (80 - d) = 20 \cdot 196 \)
• \( 80 - d = 3920 \)
• \( d = 80 - 3920 \)
• \( d = -3840 \) мм

Полученный результат отрицательный, что физически невозможно для диаметра. Вероятно, в условии задачи под "конусностью 1:20" подразумевается отношение радиусов или иная интерпретация. Если же принять, что конусность - это отношение высоты к половине разности диаметров (то есть к разности радиусов), то:

\[ \frac{H}{R - r} = \frac{1}{20} \]

Где \( R = D/2 \) и \( r = d/2 \).

• \( R = 80 / 2 = 40 \) мм.
• \( H = 196 \) мм.

Тогда:

\[ \frac{196}{40 - r} = \frac{1}{20} \]

Решим уравнение:

• \( 196 \cdot 20 = 40 - r \)
• \( 3920 = 40 - r \)
• \( r = 40 - 3920 \)
• \( r = -3880 \) мм

Это также даёт отрицательный результат.

Рассмотрим другую интерпретацию: конусность — это отношение высоты к разности радиусов, но сама конусность дана как отношение D к d или H к d. Если принять, что "конусность 1:20" означает отношение боковой поверхности к площади основания, или другие геометрические характеристики, задача становится нерешаемой без уточнения.

Если предположить, что "конусность 1:20" относится к отношению высоты к диаметру, т.е. \( H/D = 1/20 \), то \( 196 / 80 \) не равно \( 1/20 \).

Исходя из типичных задач на усеченный конус, чаще всего конусность определяется как отношение высоты к разности радиусов. Если условие задачи верно, то задача имеет некорректные данные.

Однако, если предположить, что конусность 1:20 означает отношение образующей к разности радиусов, или наоборот, или как отношение радиусов к высоте, невозможно дать однозначный ответ.

При стандартном определении конусности (отношение высоты к разности радиусов) данные некорректны.

Если предположить, что речь идет об отношении боковой поверхности к площади основания, или о тангенсе угла наклона образующей, то данных недостаточно.

Будем исходить из наиболее вероятного, хоть и дающего некорректный результат, определения конусности как отношения высоты к разности диаметров.

Поскольку полученный результат отрицательный, данная задача с такими условиями не имеет физического смысла.

Предположим, что конусность 1:20 означает отношение изменения радиуса к высоте, т.е. \( \frac{R-r}{H} = \frac{1}{20} \).

• \( R = 40 \) мм
• \( H = 196 \) мм

Тогда:

\[ \frac{40 - r}{196} = \frac{1}{20} \]

Решим уравнение:

• \( 20(40 - r) = 196 \)
• \( 800 - 20r = 196 \)
• \( 20r = 800 - 196 \)
• \( 20r = 604 \)
• \( r = \frac{604}{20} = 30,2 \) мм

Тогда малый диаметр \( d = 2r = 2 \cdot 30,2 = 60,4 \) мм.

Ответ: 60,4 мм.