3. В Δ ABC ∠C равен 90°,CH-высота, cos A=34, AB = 20. Найти АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) \( \angle C = 90^{\circ} \). \( CH \) — высота, проведённая к гипотенузе \( AB \). Дано \( \cos A = \frac{3}{4} \) (исправлено с \( 34 \) на \( \frac{3}{4} \), так как \( \cos A \) не может быть больше 1) и \( AB = 20 \).

По определению косинуса угла \( A \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \):

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3}{4} = \frac{AC}{20} \]

Найдем \( AC \):

\[ AC = \frac{3}{4} \cdot 20 = 3 \cdot 5 = 15 \]

Теперь найдём \( BC \) с помощью теоремы Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\[ BC^2 = AB^2 - AC^2 \]

\( BC^2 = 20^2 - 15^2 = 400 - 225 = 175 \)

\( BC = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} \)

Площадь треугольника \( ABC \) можно найти двумя способами:

1) \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \)

2) \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \)

Приравняем эти выражения:

\[ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \]

\( AC \cdot BC = AB \cdot CH \)

Выразим \( CH \):

\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \]

Подставим значения:

\[ CH = \frac{15 \cdot 5\sqrt{7}}{20} = \frac{75\sqrt{7}}{20} \]

Сократим дробь:

\[ CH = \frac{15\sqrt{7}}{4} \]

Примечание: В исходном условии было указано \( \cos A = 34 \), что невозможно, так как значение косинуса не может быть больше 1. Предполагается, что имелось в виду \( \cos A = \frac{3}{4} \).

Ответ: \( CH = \frac{15\sqrt{7}}{4} \).