№3. В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду?

Решение:

Задача описывает арифметическую прогрессию, где:

• $$n$$ — количество рядов (всего 14).
• $$a_n$$ — количество мест в $$n$$-м ряду.
• $$d$$ — разность арифметической прогрессии (на которое увеличивается число мест в каждом следующем ряду).

По условию:

• В пятом ряду 27 мест: $$a_5 = 27$$.
• В восьмом ряду 36 мест: $$a_8 = 36$$.

Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$.

Используя эту формулу для данных условий, можем составить систему уравнений:

• $$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = 27$$.
• $$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 36$$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $$d$$:

• $$(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 36 - 27$$
• $$3d = 9$$
• $$d = 3$$

Теперь найдем количество мест в первом ряду ($$a_1$$), подставив $$d=3$$ в первое уравнение:

• $$a_1 + 4(3) = 27$$
• $$a_1 + 12 = 27$$
• $$a_1 = 27 - 12 = 15$$

Итак, в первом ряду 15 мест, и каждый следующий ряд увеличивается на 3 места.

Нам нужно найти количество мест в последнем, 14-м ряду ($$a_{14}$$):

• $$a_{14} = a_1 + (14-1)d$$
• $$a_{14} = 15 + (13)(3)$$
• $$a_{14} = 15 + 39$$
• $$a_{14} = 54$$

Ответ: В последнем ряду 54 места.