№4. Построить график функции y= - x² + 6x - 5 и указать промежуток убывания функции.

Решение:

Данная функция $$y = -x^2 + 6x - 5$$ является квадратичной, ее график — парабола.

1. Направление ветвей параболы: Коэффициент при $$x^2$$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы:

• Абсцисса вершины находится по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$. В нашем случае $$a = -1$$, $$b = 6$$.
• $$x_в = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$.
• Ордината вершины находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение функции:
• $$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$.
• Таким образом, вершина параболы находится в точке (3; 4).

3. Точки пересечения с осью Ox (нули функции):

• Приравняем функцию к нулю: $$-x^2 + 6x - 5 = 0$$.
• Умножим на -1: $$x^2 - 6x + 5 = 0$$.
• Найдем корни с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 6$$, $$x_1 \cdot x_2 = 5$$. Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 5$$.
• Точки пересечения с осью Ox: (1; 0) и (5; 0).

4. Точка пересечения с осью Oy:

• При $$x = 0$$, $$y = -(0)^2 + 6(0) - 5 = -5$$.
• Точка пересечения с осью Oy: (0; -5).

5. Промежуток убывания функции:

• Парабола с ветвями вниз убывает слева от вершины. Вершина находится в точке $$x = 3$$.
• Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-\infty; 3]$$.

6. Построение графика:

Ответ: Промежуток убывания функции: $$(-\infty; 3]$$.