3. В четырёхугольнике ABCD (рис. 4) AO = OC, ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\).

1. \(AO=OC\) по условию.
2. \(\angle AOB=\angle COD\) как вертикальные углы.
3. Так как точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, а точки \(B,O,D\) — на другой, то \(\angle BAO=\angle BAC\), \(\angle OCD=\angle ACD\). Следовательно, \(\angle BAO=\angle OCD\) по условию.

Значит, треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA).

Из равенства треугольников следует, что \(OB=OD\).

Таким образом, диагонали \(AC\) и \(BD\) точкой пересечения \(O\) делятся пополам: \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: \(ABCD\) — параллелограмм.