3. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ докажите, что противоположные грани параллельны.

Рассмотрим противоположные грани ABCD и A₁B₁C₁D₁.

1. В кубе соответствующие рёбра параллельны: AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁.
2. Прямые AB и AD пересекаются и лежат в плоскости ABCD. Параллельные им прямые A₁B₁ и A₁D₁ пересекаются в точке A₁ и лежат в плоскости A₁B₁C₁D₁.
3. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Значит, грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны. Аналогично доказывается параллельность каждой пары противоположных граней куба.