3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AB и AD. Точка K ∈ AA₁ и A₁K : KA = 1 : 2. Через точки K, M, N проведена плоскость. Постройте сечение куба плоскостью и вычислите площадь сечения, если ребро куба равно [числовые данные обрезаны].

Правая часть условия обрезана, поэтому длина ребра куба не читается. Сечение и его площадь можно определить в общем виде, обозначив длину ребра через a.

Зададим координаты вершин куба: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A₁(0,0,a). Тогда M(a/2,0,0), N(0,a/2,0). Из A₁K : KA = 1 : 2 следует AK = a/3, поэтому K(0,0,a/3).

Плоскость через M, N и K пересекает рёбра AB, AD и AA₁ соответственно в M, N и K. Все три точки лежат на рёбрах, выходящих из A; плоскость отсекает у вершины A треугольник KMN. Следовательно, сечение — треугольник KMN.

Найдём его площадь по координатам. Векторы KM = (a/2, 0, −a/3) и KN = (0, a/2, −a/3). Площадь треугольника равна половине модуля их векторного произведения:

KM × KN = (a²/6, a²/6, a²/4), поэтому |KM × KN| = a²√17/12.

Значит, площадь сечения S = a²√17/24. Чтобы получить численное значение, нужна обрезанная длина ребра куба.

Ответ: сечение — треугольник KMN; его площадь равна a²√17/24.