3. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка К – центр грани DCC1D1. Вычислите угол между прямыми: а) А1В1 и ВК; б) АС и А1К.

Пусть сторона куба равна 'a'. Координаты вершин: A=(0,a,0), B=(a,a,0), C=(a,0,0), D=(0,0,0), A1=(0,a,a), B1=(a,a,a), C1=(a,0,a), D1=(0,0,a). Точка K = (0, 0, a/2).

a) Вектор A1B1 = (a, 0, 0). Вектор BK = (-a, -a, a/2). Косинус угла между прямыми: cos(θ) = |(A1B1 · BK)| / (|A1B1| * |BK|) = |(-a^2)| / (a * sqrt(a^2 + a^2 + a^2/4)) = a^2 / (a * sqrt(9a^2/4)) = a^2 / (a * 3a/2) = 2/3. Угол θ = arccos(2/3).

б) Вектор AC = (a, -a, 0). Вектор A1K = (0, -a, -a/2). Косинус угла между прямыми: cos(θ) = |(AC · A1K)| / (|AC| * |A1K|) = |(a^2)| / (sqrt(2a^2) * sqrt(a^2 + a^2/4)) = a^2 / (a√2 * sqrt(5a^2/4)) = a^2 / (a√2 * a√5/2) = a^2 / (a^2 * √10/2) = 2/√10 = √10/5. Угол θ = arccos(√10/5).